このページはこちらの記事の解説ページです。
https://kobetsu.links-edu.jp/blog/?p=6758&preview=true
問題
以下の図のように関数y=a/xのグラフ上に3点A,B,Cがあり、点Aの座標は(2,6)、点B,Cのx座標はそれぞれ4とー4である。また、2点A,Bを通る直線とy軸との交点をDとする。
(１)aの値と△BDCの面積を求めよ。
(２)点Bを通りx軸に平行な直線と2点CDを通る直線との交点をEとする。また、直線BE上に点Fとり、四角形COFEの面積が△BDCの面積の2/5倍になるようにする。点Fのx座標を求めよ。
解説
(１)aの値と△BDCの面積を求めよ。
まず、aの値については点Aの座標は(2,6)が与えられているため、これを反比例の一般式 y=a/x に代入するのみです。
答え a=12
次に△BDCの面積ですが、反比例のグラフが y=12/x であることが分かった事で、B,Cのx座標が4，－4であることからそれぞれ座標を出すことが出来、それぞれの計算結果より B（4,3）C（－4,－3）となります。またDの座標は点A,Bの2点を通る1次関数の切片なので y=ax+b に代入して連立方程式を解くことで求められるので、 y=－3/2x+9 となることからD（0,9）となります。
そこからは、△BDCをODを底辺とした△OBDと△ODCの２つの三角形として計算をすれば解決です。
答え 36
(２)点Bを通りx軸に平行な直線と2点CDを通る直線との交点をEとする。また、直線BE上に点Fとり、四角形COFEの面積が△BDCの面積の2/5倍になるようにする。点Fのx座標を求めよ。
イメージとしてはこんな感じでしょうか？（やはりというか難易度は高めです）
さて、この中途半端な位置にある点Fの座標を求める問題ですが、まずは座標Eの正確な値を求めましょう。『点Bを通りx軸に平行な直線と2点CDを通る直線との交点をE』とするのでy座標は3。それを直線CDの式(y＝3x+9)に代入することでE(－2,3)を導出することが出来ます。そして、この点Eは辺CDの中点であり、原点Oも辺BCの中点になることから、線分OEは辺BDと平行となります。
となれば、△BDCの2/5倍となる△CEMを作れるように辺BC上に点Mをとり、そこから等積変形で△OEM＝△OEFとなるような点Fをとれば、△CEM＝四角形COFEとなり、求めたいFの座標が導出できます。(なお、今回はx座標を求める問題のため、答えにはx座標のみ記載します。)
では、実際にMの座標を求めてみましょう。
△CEMを△BDCの2/5倍にしたいので、底辺の長さ〇倍と高さ◇倍の積が2/5となればOKです。点EはCDの中点なので△CEMの高さはを△BDCの高さの1/2倍。 1/2×〇＝2/5 としたいので底辺CMをCBの4/5倍になるように取るとよくなります。となれば、点Mの座標は(12/5,9/5)となり、そこから線分OEと平行になる直線ｙ=－3/2ｘ+ｂを求め、その式のｙの値に3を代入すれば導出することが出来ます。
この際の式はｙ=－3/2ｘ+ 27/5 となり、y=3を代入するとx＝8/5となります。
答え 8/5
