津村Pick Up問題 大問4 解説編

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問題

以下の図のように関数y=a/xのグラフ上に3点A,B,Cがあり、点Aの座標は(2,6)、点B,Cのx座標はそれぞれ4とー4である。また、2点A,Bを通る直線とy軸との交点をDとする。

(1)aの値と△BDCの面積を求めよ。

(2)点Bを通りx軸に平行な直線と2点CDを通る直線との交点をEとする。また、直線BE上に点Fとり、四角形COFEの面積が△BDCの面積の2/5倍になるようにする。点Fのx座標を求めよ。

解説

(1)aの値と△BDCの面積を求めよ。

まず、aの値については点Aの座標は(2,6)が与えられているため、これを反比例の一般式 y=a/x に代入するのみです。

答え  a=12

次に△BDCの面積ですが、反比例のグラフが y=12/x であることが分かった事で、B,Cのx座標が4,-4であることからそれぞれ座標を出すことが出来、それぞれの計算結果より B(4,3)C(-4,-3)となります。またDの座標は点A,Bの2点を通る1次関数の切片なので y=ax+b に代入して連立方程式を解くことで求められるので、 y=-3/2x+9 となることからD(0,9)となります。

そこからは、△BDCをODを底辺とした△OBDと△ODCの2つの三角形として計算をすれば解決です。

答え 36

(2)点Bを通りx軸に平行な直線と2点CDを通る直線との交点をEとする。また、直線BE上に点Fとり、四角形COFEの面積が△BDCの面積の2/5倍になるようにする。点Fのx座標を求めよ。

イメージとしてはこんな感じでしょうか?(やはりというか難易度は高めです)

さて、この中途半端な位置にある点Fの座標を求める問題ですが、まずは座標Eの正確な値を求めましょう。『点Bを通りx軸に平行な直線と2点CDを通る直線との交点をE』とするのでy座標は3。それを直線CDの式(y=3x+9)に代入することでE(-2,3)を導出することが出来ます。そして、この点Eは辺CDの中点であり、原点Oも辺BCの中点になることから、線分OEは辺BDと平行となります。

となれば、△BDCの2/5倍となる△CEMを作れるように辺BC上に点Mをとり、そこから等積変形で△OEM=△OEFとなるような点Fをとれば、△CEM=四角形COFEとなり、求めたいFの座標が導出できます。(なお、今回はx座標を求める問題のため、答えにはx座標のみ記載します。)

では、実際にMの座標を求めてみましょう。

△CEMを△BDCの2/5倍にしたいので、底辺の長さ〇倍と高さ◇倍の積が2/5となればOKです。点EはCDの中点なので△CEMの高さはを△BDCの高さの1/2倍。 1/2×〇=2/5 としたいので底辺CMをCBの4/5倍になるように取るとよくなります。となれば、点Mの座標は(12/5,9/5)となり、そこから線分OEと平行になる直線y=-3/2x+bを求め、その式のyの値に3を代入すれば導出することが出来ます。

この際の式はy=-3/2x+ 27/5 となり、y=3を代入するとx=8/5となります。

答え 8/5